本文通過(guò)BUCK電路中功率電感在TON和TOFF兩個(gè)階段的公式，推導(dǎo)出電感伏秒平衡的表達(dá)式。當(dāng)開關(guān)工作在固定的開關(guān)頻率時(shí)，占空比D也保持恒定，電流波形和電壓波形在每個(gè)周期都是重復(fù)的或者周期性的（假如周期為T），即 i((n+1)T) = i(nT) 和 v((n+1)T) = v(nT) ，這樣的狀態(tài)就稱為穩(wěn)態(tài)。

開關(guān)電源工作在穩(wěn)態(tài)時(shí)，功率電感器和輸出電容器這兩個(gè)元件對(duì)應(yīng)著兩個(gè)非常重要的原理，即電感伏秒平衡（Inductor Volt-Second Balance）和電容電荷平衡（Capacitor Charge Balance），這通常被用于分析開關(guān)電源的穩(wěn)態(tài)工作過(guò)程。

圖 3.1 非同步降壓電路的導(dǎo)通和關(guān)斷狀態(tài)

電感器的伏秒平衡原理有以下三種表述方式：

表述一：開關(guān)電源穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，開關(guān)管導(dǎo)通階段（即電感電流上升階段）的伏秒積，與開關(guān)管關(guān)斷階段（即電感電流下降階段）的伏秒積相等（但符號(hào)相反）。

表述二：開關(guān)電源穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，任何開關(guān)周期內(nèi)，電感電壓曲線的凈面積必然為零。

表述三：開關(guān)電源穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，任何開關(guān)周期內(nèi)，電感電壓的平均值（電感電壓的直流分量）為零。

表述四：使用公式可表示為

圖 3.2 降壓電路CCM模式的電感電流增量等于減量

/1. TON開關(guān)管導(dǎo)通階段/

圖 3.1所示，以降壓電路為例，在開關(guān)管導(dǎo)通期間t_ON，電感上的電流是逐漸增大的（電感上的儲(chǔ)能是逐漸增加的，能量臨時(shí)存儲(chǔ)在功率電感中），所以電感上的感應(yīng)電壓 V_(L,ON) 與電流的方向是相反的（即電感阻止電流增大）。

在TON階段，根據(jù)電感公式 V=L×di/dt=L×?I/?T ，可得電流增量為

根據(jù)基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff Voltage Laws, KVL），在任何閉合回路中，所有元件兩端的電勢(shì)差（電壓）的代數(shù)和等于零，我們容易得到

所以，TON階段電感上的（感應(yīng)）電壓為

其中：V_IN 是輸入電壓，V_(DS(ON)-H) 是開關(guān)管上的壓降（流過(guò)的電流與 R_(DS(ON)) 的乘積），V_DCR 是電感上的壓降（流過(guò)的電流與電感直流電阻 R_DC 的乘積），V_OUT 是輸出電壓。

在忽略 V_(DS(ON)-H) 、V_DCR 兩個(gè)參數(shù)的情況下，TON階段電感上的（感應(yīng)）電壓為

所以，在TON階段，電感電流增量又可以表示為

或

/2. TOFF開關(guān)管關(guān)斷階段/

在開關(guān)管關(guān)斷期間，電感上的電流是逐漸減小的（電感上的儲(chǔ)能是逐漸減小的，臨時(shí)儲(chǔ)存的能量開始往負(fù)載端傳遞），所以電感上的感應(yīng)電壓 V_(L,OFF) 與電流的方向是相同的（即電感阻止電流減小）。

在TOFF階段，根據(jù)電感公式 V=L×di/dt=L×?I/?T （不考慮到電流與感應(yīng)電壓的方向），可得電流減量為

根據(jù)KVL定律，我們容易得到（考慮到電流是減小的，感應(yīng)電壓為負(fù)）：

所以，TOFF階段電感上的（感應(yīng)）電壓為

其中：V_DCR 是電感上的壓降（流過(guò)的電流與電感直流電阻 R_DC 的乘積），V_D 是續(xù)流二極管正向?qū)▔航怠?/span>

在忽略功率電感直流電阻壓降 V_DCR 、續(xù)流二極管正向導(dǎo)通壓降 V_D 兩個(gè)參數(shù)的情況下，TOFF階段電感上的（感應(yīng)）電壓為

所以，在TOFF階段，電感電流減量又可以表示為

或

/3.電感紋波電流每周期歸零/

在三種電路拓撲（降壓電路，升壓電路和降升壓電路）中，穩(wěn)態(tài)時(shí)電感上的紋波電流每周期歸零，開關(guān)管導(dǎo)通期間的增量 ?I_(L,ON)（由輸入電容放電導(dǎo)致），等于開關(guān)管關(guān)斷期間的減量 ?I_(L,OFF)（由輸出電容充電導(dǎo)致），等于電感上的紋波電流 ?I_L，即

將公式(3.13)和公式(3.19)代入公式(3.25)，并消去感值 L 得到

電感電壓與作用時(shí)間的乘積就是“伏秒積”。

公式(3.26)表明，開關(guān)管導(dǎo)通階段（即電感電流上升階段）的伏秒積，與開關(guān)管關(guān)斷階段（即電感電流下降階段）的伏秒積相等（但符號(hào)相反），這就是基于電感電壓 V_(L,ON) 和 V_(L,OFF) 的“伏秒定律（表述一）”的公式化表述。

如果將公式(3.15)和公式(3.21)代入公式(3.26)，可得：

如果將公式(3.16)和公式(3.22)代入公式(3.26)，可得：

這是基于輸入電壓 V_IN 和輸出電壓 V_OUT 的“伏秒定律”的公式化表述。

推薦關(guān)注“電源先生”